第四章

图论初步

Part 1 基本概念

图

一个图graph是指资料 ，其中 是集合，；即 的元素是 的二元子集。

为了避免记号混淆，我们总是假定 。

的元素称为图 的顶点vertex或点。 的元素称为图 的边edge。

称 为图 的顶点集， 为图 的边集。

顶点集是 的图也称为集合 上的图。我们讨论的图，顶点集都是有限的。

画图

我们常把一个图画成图形：为每个顶点画一个点，若两个顶点构成边则画一条线连接对应的两点。点和线的形状无关紧要，只要能表现出哪些顶点对构成边，哪些顶点对不构成边。

画图工具：graph editor

习惯说法与记号

• 把图 的顶点集记为 ，边集记为 。此记法与这两个集合的实际名称无关：图 的顶点集 仍记为 而非 。
• 我们并不总是严格区别一个图和它的顶点集或边集。比如，我们会说顶点 （而非 ），边 。
• 边 常简写为 （或 ）。
• 记号 表示 的全部二元子集构成的集合。换言之， 是 上的图所有可能的边的集合。
• 的顶点数称为它的阶，记作 ；边数记作 。
• 空图 简写为 。空图和只有一个顶点的图称为平凡图。

点边关系，点点关系，边边关系

设 是图 的一个顶点， 是 的一条边，若 则称顶点 关联于边 ，称 是 处的边。与一条边关联的两个点称为其端点,称其连接这两个点。

设 是图 的顶点，若 是 的边，则称 邻接adjacent或相邻；此时也称 互为邻点neighbour。与点 相邻的点构成的集合记作 ，或简写为 ；称为 的邻域或邻居。

设 是图 的边，，若它们有共同的端点，则称 邻接。

称两两不邻接的一族边或点独立。

完全图

若图 的所有顶点两两邻接，则称 是完全图。

个顶点上的完全图记作 ； 也称为三角形。

有多少条边？

两个图的关系

• 同态和同构
• 子图

同态和同构

设 和 为图， 为图之间的映射。若 保持顶点的邻接性，即

则称 为图同态。此时，对于 的像集里的每个顶点 ，它的原像集 是 里一族相互独立的顶点。

若 是双射且其逆 也是同态，即使得

则称 为图同构，也称图 和 同构，记作 。从图 映到其自身的同构也称为自同构。

子图

设 和 为图。

• 若 且 ，则 是 的子图subgraph，记作 。我们也说 包含 。若 且 ，则 是 的真子图。

设 。

• 若 包含 里所有的两端点都在 里的边，则 是 的导出子图induced subgraph；我们说 在 里导出或张成 ，记作 。换言之，对任意子集 ， 指 上的这样一个图，它的边恰是图 里两端点都在 里的边。
• 若 张成整个图 ，即若 ，则 是 的生成子图spanning subgraph。

图的运算（操作）

• 二元运算：并，交，删点，加/减边
• 一元运算：补图，线图

并，交，删点，加/减边

设 和 是图。 和 的并和交分别定义为 和 。

设 是一族顶点（通常是图 的），我们把 记为 。换言之， 是从 里删除 里的所有顶点和与之关联的边而得到的图。若 是独点集，我们写 而非 。我们把 简写为 。

对于 的子集 ，定义 和 。同上， 和 简记为 和 。

补图，线图

设 是图。

的补图

的线图

顶点的度

设 为非空图。顶点 的度degree 定义为点 处边的数量；根据图的定义，这也等于 的邻点的数量。度是 的顶点称为孤立点。图 的最小度记为 ，而图 的最大度记为 。 若 的所有顶点的度都是 ，则称 是 -正则的，或简称正则的。

练习

证明下述结果。设 为图，有

作为推论，任一图里度是奇数的顶点总有偶数个。

3-正则图

连通的3-正则图是什么样的？注意到 3-正则图必有偶数个顶点。

习题 abc262_e Red and Blue Graph

给你一个有 个顶点和 条边的图。

把图上的每个顶点涂成红色或蓝色，有 种方式。求满足下列条件的染色方式的数量，模 ：

• 恰有 个顶点被染成红色，有 个顶点被染成蓝色。
• 两端点颜色不同的边有偶数条。

限制

解法

• 设红红边有 条，红蓝边有 条。注意到 ，所以 是偶数当且仅当红点的度之和是偶数。

• 条件变成：选择 个点使得它们的度之和是偶数。

• 只要这 个点里度是奇数的点有偶数个即可。

代码

const int mod = 998244353; //是素数

int inverse(long long x) { // 模p下的逆元
    if (x == 1) return 1;
    return mod - mod / x * inverse(mod % x) % mod;
}

const int maxn = 2e5 + 5;
int deg[maxn]; // 度
long long f[maxn]; // 阶乘

long long choose(int n, int m) { // 组合数
    if (m < 0 || m > n) return 0;
    return
        f[n] * inverse(f[m] * f[n - m] % mod) % mod;
}

int main() {
    int n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    while (m--) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        deg[u]++;
        deg[v]++;
    }
    int odd = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (deg[i] % 2)
            odd++;
    
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        f[i] = f[i - 1] * i % mod;

    long long ans = 0;
    for (int i = 0; i <= min(odd, k); i += 2)
        ans += choose(odd, i) * choose(n - odd, k - i) % mod;
    cout << ans % mod << '\n';
}

路径

非空图 称为路径path，若它形如

其中诸 互异。我们说顶点 和 被 链接并称之为 的端点；而顶点 是 的内部顶点。路径的边数称为其长度。长度为 的路径记作 。路径的长度容许是 ，。

图 里的路径

关于路径的习惯记号和说法

我们常把路径上的点依其自然顺序写出，记如 并称 为一条从 到 的路径，或 和 之间的路径。

对于 ，我们用下列记号表示 的子路径

我们用类似的直观记号表示路径的串接；例如，若三条路径的并 仍是路径，我们把它简记为 。

— 路径，-路径

给定顶点集 ，我们称 为 路径，若 且 。换言之， 只有两个端点分别在 和 里。一如先前，我们把 — 路径简写为 — 路径，— 路径简写为 — 路径，如此等等。

给定图 ，若路径 非平凡且只有两端点落在 里，我们称 是一条 -路径。注意，-路径的边全都不在 里。

称两条或多条路径独立，若其中每一条路径都不包含另一条路径的内部顶点。例如，两条 路径独立当且仅当它们的公共顶点只有 和 。

环

设 是一条路径且 ，则图 称为环cycle或圈。同路径的记法一样，我们常把环表为其上点的排列；上述环 也可表为 。环的长度是它的边数（或顶点数）；长为 的环称为 元环，记作 .

图 里包含的环的长度的最小值称为 的围长girth，记作 ；而环长的最大值称为 的周长。若 里没有环，我们置围长为 ，周长为 。

若一条边连接环上两点但它本身不是环的边，则称之为环的弦。若 里的一个环是导出子图，则称之为导出环，它也就是一个没有弦的环。

环 与其弦 ，导出环 和 。

距离，直径，中心，半径

图 里两顶点 的距离distance是 里最短的 — 路径的长度，记作 ；若这样的路径不存在则命 。图 里两顶点之间的距离的最大值称为 的直径diameter，记作 。换言之

的一个顶点是中心的，若从任意顶点到它的距离的最大值最小。此距离是 的半径radius，记作 。换言之，

练习

设图 连通。证明

证明 根据定义，显然有 。设 ，对任意顶点 ，我们有 ，因此

围长和直径的关系

命题 每个有环的图 都满足 。

证明 设 是 里一个最短环。若 ，则 上有这样两个顶点：它们在 上的距离至少是 。在图 里，这两顶点的距离不超过 ；因此二者之间的任何最短路径 都不是 的子图。故 含有一条 -路径 。此路径 连同环 里的两条 — 路径中较短者，就构成一个比 短的环，矛盾。

途径

图 里一个长为 的途径walk 是一个非空的点边交替序列 ，对所有 都有 。若 则称此途径是封闭的closed。

若途径里的顶点相异，它就成为路径。

注：有的书上把这里定义的途径称为路径，而把我们前面定义的路径称为简单simple路径。

连通度

• 连通图，连通块
• 连通度
• 割点，桥

连通图，连通块

若图 非空且他的任意两个顶点都被 中的路径链接，则称 是连通的connected。若 且 连通，我们也称 自身（在 里）连通。

设 为图。称 的极大连通子图为 的连通块或连通分量。易见，连通块是导出子图，它们的顶点集是 的划分。

此图有三个连通块，加粗的部分是每个连通块里的一个极小连通生成子图。

连通度

称图 是 -连通的（），若 并且对每个满足 的子集 都有图 是连通的。

每个非空图都是 -连通的，而 -连通图恰是非平凡的连通图。

使得 是 -连通图的最大整数 称为 的连通度，记作 。依此， 当且仅当 不连通或是 ，而对任意 ，。

换言之，删除 中任意 个点， 仍连通。删除 中某 个点， 不连通或只剩一个点。

边连通度

若 并且对每个少于 条边的子集 ， 都是连通的，则称 是 -边连通的。使得 是 -边连通的最大整数 称为 的边连通度，记作 。特别地，若 不连通，我们有 。

换言之，删除 中任意 条边， 仍连通。删除 中某 条边， 不连通。

分离

为了今后表述方便，我们采用一个术语：分离。

设 为图， 和 。

若 和 使得 里每一条 — 路径上都有一个点或一条边在 里，我们说 在 里分离separate顶点集 和 。注意此时必有 。若 分离 ， 而 ，我们说 分离两顶点 ；若 分离 里某两个顶点，也说 分离 。

命题

若图 非平凡，则 。

证明： 是因为和一个固定的顶点关联的所有边分离图 。为证明 ，令 是一族 条边使得 不连通。根据 的定义，这样的一族边存在；而且 里每条边连接 的两个连通块。我们证明 。

先设 有一个顶点 不与 里的边关联。令 是 的含有 的连通块。那么 里与 的边关联的顶点使 和 分离。由于 里没有一条边两端点都在 里，至多有 条这样的边，所以 。

再设每个顶点都与 的边关联。令 是任一顶点， 是 里含有点 的连通块。那么 的每个满足边 的邻点 都在 里，并且这些 都与 里的边关联；因此 。由于点 的邻居 把 和其他点分离，故有 ——除非没有其他点，即除非 。但是由于 是任一点。此时 是完全图，有 。

割点，桥

设 是图， 是 上一顶点， 是 上一条边。若从图 里删除点 之后，连通块的数量增加，则 是 的割点cutvertex。若从图 里删除边 后，连通块的数量增加，则 是 的桥bridge。桥也称割边。

此图有割点 和桥 。

图在程序里的表示

• 邻接矩阵
• 邻接表
  • 链式前向星
  • vector 数组

邻接表和邻接矩阵

链式前向星：用数组实现邻接表

const int maxn = 1e5 + 5;
const int maxm = 2e5 + 5;
struct Edge {
    int to;
    int next;
};
Edge edge[maxm];
int head[maxn];
int e_cnt;

void init() {
    memset(head, -1, sizeof head);
    e_cnt = 0;
}

void add(int from, int to) {
    edge[e_cnt] = {to, head[from]};
    head[from] = e_cnt++;
}

用 std::vector 实现邻接表

const int maxn = 1e5 + 5;
vector<int> g[maxn];

void add(int from, int to) {
    g[from].push_back(to);
    g[to].push_back(from);
}
//对于边uv，add(u, v) 和 add(v, u)

特殊图

• 树和森林

• 二分图

• 欧拉图

树和森林

无环acyclic图，即不含有任何环的图，也称为森林forest。连通的森林称为树tree。树里度是 的顶点称为叶子leaf，其他顶点称为内部顶点。

不难验证，每个非平凡的树都有叶子。从树里删除一个叶子，剩下的图仍是树。

树的等价定义

对于图 ，下列命题等价：

• 是树；
• 的任两个顶点被唯一的路径链接；
• 是极小连通的，即 是连通的但是对每条边 ， 都不连通；
• 是极大无环的，即 无环但对 的任何两个不相邻的顶点 ， 有环；
• 连通且边数比点数少 。

生成树

设 为图， 是 的生成子图。若 是树，则称 是 的生成树spanning tree。

每个连通图都含有一个生成树spanning tree。每个非空图都含有一个生成森林spanning forest。

有根树

有时宜将树里的某个顶点特别看待，这样的顶点称为树的根root。树 连同一个固定的根 就成为有根树rooted tree。

有根树上有一个自然的偏序： 若 。

关于有根树的术语和习惯

• 有根树的顶点常称为节点node或结点。
• 节点到根的距离是其深度depth，深度相同的节点在同一层level。节点深度的最大值是有根树的高度height。
• 画有根树时，根画在最高处，同一层节点画在同一高度。
• 设 是有根树的节点，若 在从根到 的路径上，则 是 的祖先ancestor， 是 的后代descendant。特别地， 是 本身的祖先和后代。

在右图中， 是 的子节点或孩子children， 是 的父节点parent，边 是 的父边parent edge。 互为兄弟siblings。无子节点的点是叶子。

是 和 的最近公共祖先lowest common ancestor，记作 。

的后代生成的子图称为以 为根的子树subtree，简称子树 ；也称之为 的子树 。

习题 abc385_e 雪花树

可通过下述过程生成的树称为雪花树：

1. 选择正整数 。
2. 准备一个顶点。
3. 准备 个顶点，每个都跟第 2 步的那个顶点相连。
4. 给第 3 步的 个顶点每个加上 个叶子。

右图是 ， 的雪花树。第 2，3，4 步加的节点分别以红，蓝，绿 三色表示。

给你一个有 （）个点的树 。要从 中删除一些点使得剩下的图是雪花树。最少要删多少个点？

解析

我们把上述第一个顶点称为雪花树的中心。雪花树在以中心为根时，根有 个子节点，而根的每个子节点都有 个子节点。

若在树 里节点 有 个邻点度都不小于 ，则存在一个以 为中心，有 个点的雪花树。于是想到把 的邻点按度从大到小排序，以 的第 个邻点的度为 。

代码

int main() {
  int n; cin >> n;
  vector<vector<int>> g(n + 1);
  for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    int u, v; cin >> u >> v;
    g[u].push_back(v);
    g[v].push_back(u);
  }

  int ans = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    vector<int> deg;
    for (int j : g[i])
      if (g[j].size() > 1)
        deg.push_back(g[j].size());
    sort(deg.rbegin(), deg.rend());//从大到小排序
    for (int j = 0; j < deg.size(); j++)
      ans = max(ans, (j + 1) * deg[j] + 1);
  }
  cout << n - ans << '\n';
}

另一种写法

int main() {
  int n; cin >> n;
  vector<vector<int>> g(n + 1);
  for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    int u, v; cin >> u >> v;
    g[u].push_back(v);
    g[v].push_back(u);
  }

  auto cmp = [&](int x, int y) { // lambda 表达式
    return g[x].size() > g[y].size();
  };

  int ans = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    sort(g[i].begin(), g[i].end(), cmp);
    for (int j = 0; j < g[i].size() && g[g[i][j]].size() > 1; j++)
      ans = max(ans, (j + 1) * (int) g[g[i][j]].size() + 1);
  }  
  cout << n - ans << '\n';
}

二分图

设 是 的整数， 是图。若能把 划分成 个子集使得每条边的两端点都在不同的子集里，则称 是 -分图或 -部图。-分图常写作二分图bipartite graph。

若一个 -分图里每一对来自不同子集的点都构成边，则称它是完全的。若一个完全 -分图的顶点集被分成的 个子集的大小是 ，我们记之为 。形如 的二分图称为星图star或菊花图。

二分图 的三种画法

二分图的性质

二分图不含有奇环odd cycle（为什么？）。实际上，此性质完全刻画了二分图。

命题 一个图是二分图当且仅当它不含有奇环。

abc260_f Find 4-cycle

分析

• 二分图里的四元环形如右图。
• 特殊之处：二分图左边点多（三十万）而右边点少（三千）。
• 对于右边的每一对点 ，我们寻求左边的两个点 使得 ，，， 都构成边。为此用变量 来记录这样的 。最初，。
• 对于左边的每一个点 ，我们枚举与它相邻的每一对（右边的）点 ；若 ，则 ；否则就找到了左边的两个点： 和 。
• 时间 。此解法应用了鸽巢原理。

代码

vector<int> g[300005];
int f[3005][3005];

int main() {
  int S, T, M;
  cin >> S >> T >> M;
  while (M--) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    g[u].push_back(v - S);
  }
  for (int a = 1; a <= S; a++) {
    for (int i = 0; i < g[a].size(); i++)
      for (int j = 0; j < i; j++) {
        int c = min(g[a][i], g[a][j]);
        int d = max(g[a][i], g[a][j]);
        if (f[c][d] == 0) {
          f[c][d] = a;
        } else {
          cout << f[c][d] << ' ' << a << ' ' << c + S << ' ' << d + S;
          return 0;
        }
      }
  }
  cout << -1;
}

柯尼斯堡Königsberg的七座桥

→ →

欧拉环游

如果图上的一个封闭途径走过每条边恰好一次，那么称之为一个欧拉环游Euler tour或欧拉回路。若在一个图上可进行欧拉环游，则称之为欧拉的Eulerian，也称这样的图为欧拉图。

定理 一个连通图是欧拉的当且仅当它的每个点的度都是偶数。

图的概念的扩展

• 有向图

• 重图

• 带权图

有向图

一个有向图是指资料 ，其中 ， 是两个不相交的集合，而 ， 是两个映射。

称为图 的顶点集， 称为图 的边集。

映射 和 为每条边 指派起点 和终点 。我们称边 是从 到 的。

一个有向图上可能有多条从顶点 到顶点 的边，称这些边为重chóng边。

若 ，边 称为自环。

关于有向图的术语

• 有向图的边也称弧arc。
• 忽略一个有向图边的方向所得的无向图称为其无向版本。
• 以点 为起点（或终点）的边是 的出边（或入边）， 的出边的数量是 的出度out-degree（或入度in-degree）。
• 路径和环的定义与图类似，但要求边的方向一致。若图上有从点 到点 的路径，则称从 可到达 。若图上任意两点都相互可到达，则称图是强连通的strongly connected。

有向图在程序里的表示

重图

容许图里有重边或自环就得到重图的概念。形式地说，一个重图multigraph是指一对不相交的集合 ，连同一个映射 为每条边指派一个或两个顶点为端点。我们仍然以 表达 是边 的端点，不过这不能唯一确定 。也不妨说重图是边的方向被“忘记”了的有向图。

图就是没有重边和自环的重图。前面介绍的适用于图的术语几乎都可以用于重图，不过也有些许差别：

• 重图上可能有长度是 或 的环。
• 一个顶点处的自环对它的度的贡献是 。

在 OI 里，我们不使用重图这个术语，而是把图和重图统称为无向图undirected graph；为了强调一个无向图（或有向图）没有重边和自环，我们说它是简单simple无向图（或有向图）。

带权图

一个有向图或无向图 连同一个权值函数 为每条边指定一个权值weight，就成为带权图weighted graph。