double f[maxn][2];
int g[maxn][2];
auto check_avg = [&](double x) {
f[0][0] = 0;
f[0][1] = b[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
f[i][0] = f[i - 1][1];
f[i][1] = b[i] + max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
}
return max(f[n - 1][0], f[n - 1][1]) >= 0;
};
double l = 1, r = 1e9;
for (int t = 0; t < 100; t++) {
double mid = (l + r) / 2;
if (check_avg(mid))
l = mid;
else
r = mid;
}
cout << l << '\n';
auto check_median = [&](int x) {
vector<int> b(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
if (a[i] >= x) b[i] = 1;
else b[i] = -1;
g[0][0] = 0;
g[0][1] = b[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
g[i][0] = g[i - 1][1];
g[i][1] = b[i] + max(g[i - 1][0], g[i - 1][1]);
}
return max(g[n - 1][0], g[n - 1][1]) > 0;
};
cout << binary_search(check_median, 1, 1e9 + 1) << '\n';
---
# 例题：数对的数位和
对于正整数 $x$，令 $f(x)$ 为 $x$ 的数字之和。例如，$f(158) = 1 + 5 + 8 = 14$，$f(2023) = 2 + 0 + 2 + 3 = 7$，$f(1) = 1$。
给你一个正整数序列 $A = (A_1, \ldots, A_N)$。求 $\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N f(A_i + A_j)$。
###### 限制
- $1\leq N\leq 2\times 10^5$
- $1\leq A_i < 10^{15}$
---
# 样例
<div class=columns><div>
输入
```
2
53 28
```
</div><div>
输出
```
36
```
</div></div>
$$\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N f(A_i + A_j) \\
& = f(A_1+A_1)+f(A_1+A_2)+f(A_2+A_1)+f(A_2+A_2) \\
& =f(106) + f(81) + f(81) + f(56) \\
&= 7+9+9+11 \\
&=36
\end{aligned}
$$
---
# 思考一下（10 分钟）
---
# 一个结论
设 $x$，$y$ 是正整数。有
$$
f(x + y) = f(x) + f(y) - 9 \times (列竖式算\ x+y\ 时进位的次数)
$$
列竖式算 $x+y$ 时，每发生一次进位数字和损失 $9$.
你觉得对吗？为什么？
接下来怎么办？
---
# 进位的次数
问题化为对全部数对 $A_i, A_j$，$A_i + A_j$ 时一共进位了多少次？
分别考虑每个数位。
有多少对 $i, j$ 满足 $A_i + A_j$ 会在个位发生进位？
有多少对 $i, j$ 满足 $A_i + A_j$ 会在十位发生进位？
……
---
# 计算进位的次数
列竖式计算 $A_i + A_j$ 会第 $k$ 位（个位是第 $0$ 位，十位是第 $1$ 位，……）发生进位相当于说
$$
(A_i \bmod 10^{k+1}) + (A_j \bmod 10^{k+1}) \ge 10^{k+1}
$$
这里 $n \bmod m$ 表示 $n$ 除以 $m$ 的余数。
:bulb: 你会了吗？
---
# 解法
- 对每个数位计算这一位上发生的进位的总次数。
- 对第 $k$ 位，算出 $A_i \bmod 10^{k+1}$（$1 \le i \le N$），得序列 $R_k$。
- 问题化为 $R_k$ 里有多少对数之和大于等于 $10^{k+1}$。
- 对 $R_k$ 排序，然后用**二分查找**或**双指针**解决上述问题。
- 用二分查找更好写一点，你可以用 std::lower_bound()。
---
# 代码
<div class=columns><div>
```cpp
int main() {
// ...
long long sum = 0;
for (long long x : a) {
long long y = x;
while (y)
sum += y % 10, y /= 10;
}
long long carry = 0;
long long t = 1;
for (int _ = 0; _ < 15; _++) {
t *= 10;
vector<long long> b(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
b[i] = a[i] % t;
sort(b.begin(), b.end());
//
}
cout << sum * 2 * n - 9 * carry << '\n';
}
```
</div><div>
```cpp
int main() {
// ...
long long sum = 0;
for (long long x : a) {
long long y = x;
while (y)
sum += y % 10, y /= 10;
}
long long carry = 0;
long long t = 1;
for (int _ = 0; _ < 15; _++) {
t *= 10;
vector<long long> b(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
b[i] = a[i] % t;
sort(b.begin(), b.end());
// 二分查找
for (int x : b)
carry += b.end() - lower_bound(b.begin(), b.end(), t - x);
}
cout << sum * 2 * n - 9 * carry << '\n';
}
```
</div></div>