数论（一）

整除

对任意 定义 ，它由 的所有倍数构成。对于 ，如果 则称 整除 记为 ，否则记为 。当 时，我们称 为 的因数或因子。

最小公倍数、最大公因数、互素

以下选定 ，并考虑一族整数 。

• 记这族整数的最小公倍数least common multiple为

• 记这族整数的最大公因数greatest common divisor为

• 若 ，则称 互素，这也相当于说 没有 以外的公因子。

整数的带余除法

对于任意整数 ，若 ，则存在唯一的 使得 而 。

证明 不妨假定 。考虑集合

这是 的非空子集，故有极小元，记为 ；相应地 。必然有 ，否则 将给出 使得 ，与 的极小性质矛盾。这就说明 的存在性。

至于唯一性，设 ，其中 而 。因为 既被 整除，又有 ，易证唯一的可能是 ，从而由 推得 。

根据上述命题中的唯一性，带余除法中的余数 当且仅当 。

上述两个性质是说 中任意两整数相加仍然在 中， 中任意整数的倍数仍然在 中。

证明 先讨论 的存在性。不妨设 ，否则唯一的取法是 。注意到 。取 为 中的最小正整数。包含关系 自明。至于 ，设 ，用带余除法表为 ，其中 。不难验证 属于 ，于是 必为 ，否则将给出 中比 更小的正整数，矛盾。

至于 的唯一性，若正整数 满足 ，则它们相互整除，故唯一的可能是 。

Bézout's identity（裴蜀恒等式 ）

证明 不妨设 不全为 ，否则等式两边按定义同等于 。据上述引理取 ，使得 。不难验证对于任意正整数 ，我们有

这就足以表明 。

基于上述结果， 蕴含 可以表为 的形式；反之，若存在 使得 ，则 当然互素。

欧几里得引理

证明 由于 ，裴蜀定理蕴含存在 使得 。于是 ，而 ，所以有 。

计算 gcd(a, b)

不妨设 。设 用带余除法表作 ，其中 。若 是 的公因数，则 整除 ；反之，若 是 的公因数则 整除 。即 和 有同一群公因数，自然有

这引出如下递归算法：

一言以蔽之，从 开始反复作带余除法，直到余数为零。

此算法称为辗转相除法，也称欧几里得算法Euclid's algorithm。

例子：计算

用辗转相除法计算 的过程可以用如下序列表示

从第三项开始，每一项都是前两项相除的余数；这样反复做带余除法，直到余数为 。

前一次的除数是下一次的被除数，而余数（可视为被除数的“残留”）是一下次的除数；被除数与除数前后角色翻转，此即“辗转”之义。

int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? abs(a) : gcd(b, a % b);
}

辗转相除法的时间复杂度

用辗转相除法计算 的最大公因数，假设一共做了 次除法运算，那么我们得到两个序列

• 余数序列：。
• 商序列：。

对每个 ，有

证明 若 ，那么根据余数的定义有 。若 ，那么 。

证明：假设一共做了 次除法，写出余数序列

我们有

根据上一页的命题，我们有

分别看 和 ，有

若 是奇数，我们有

也就是有 ，所以

若 为偶数，此时 ，有 且 ，所以 ，我们有

也就是有 ，所以

计算 lcm(a, b)

证明 设 ，则根据最大公因数的定义，存在整数 使得 ， 且 。

令 ，代入 得 。于是有 ，可见 是 的公倍数。

设 是 和 的任意一个公倍数，即 且 。以 代入 得 ，所以存在整数 使得 。以 和 代入 ，得 。两边约去 ，得 。由于 ，根据欧几里得引理，必有 。所以存在整数 ，使 ，代入 ，得 。因为 是整数，所以 。

因为 的任意公倍数都能被 整除，且 是 的公倍数，所以 就是 最小公倍数。

丢番图方程

根据 Bézout's identity，，所以方程有解当且仅当 。

证明：先证充分性。
令 。将 和 代入 ，得

所以 是方程的解。

再证必要性。
设 是方程的任意一组整数解，即 ，同时我们有 ，两式相减，得 ，即

设 ，，此时必然有 ，代入上式并除以 ，得

于是可见 整除 。由于 ，根据欧几里得引理，我们有

也就是说，存在整数 使得 ，即 。

若 ，即 ，此时必有 ，则 的值唯一，是 ，而 可取任一整数。此时 ，而 确实可以取到每个整数。

若 ，将 代入 ，得 ，除以 ，得 ，即 。

丢番图方程

扩展 gcd 算法

我们用辗转相除法计算 ，除了可以得到 ，还能得到两个整数 使得 。这就是所谓扩展 gcd 算法。

具体的计算方法有两种：一是正推，一是倒推。

正推的扩展 gcd 算法

用辗转相除法计算 ，写出余数序列

我们可以按 的顺序，把每个 写成

的形式，其中 是整数。

最后 就使得 .

我们取 和 。

从 和 推

将 和 代入

得

改写成

我们可以取

我们以计算 为例，演示正推的扩展 gcd 算法。

pair<int,int> extgcd(int a, int b) {
    int u = 1, v = 0;
    while (b != 0) {
        int q = a / b;
        a -= q * b;
        u -= q * v;
        swap(a, b);
        swap(u, v);
    }
    return {a, u};
}

extgcd(a, b) 返回的两个整数 ，。

• 使得存在整数 满足 。
  或者说 使得 整除 。

倒推的扩展 gcd 算法

用辗转相除法计算 ，写出余数序列

我们可以按 的顺序，把 写成

的形式，其中 是整数。

最后， 就使得 。

就是 ，我们取 ，。

从 推

将 代入 ，得

改写成

将此式与 对比，可见我们可以取

我们以计算 为例，演示倒推的扩展 gcd 算法。

int extgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int q = a / b;
    int g = extgcd(b, a - q * b, y, x);
    y -= x * q;
    return g;
}