动态规划

目录

• 动态规划是什么
• 背包类型动态规划

动态规划（dynamic programming，DP）

一种解题技术和算法设计方法。

• 狭义：用子问题递推的方法解决组合最优化问题。
• 广义：和递推法是同义词。

递推法常常用来解决

• 计数问题
• 组合最优化问题

递推三要素

• 子问题（状态）
• 递推式（状态转移）
• 边界条件（边界状态）

有 个东西排成一行，要从中选一些，可以一个也不选。相邻的两个东西不能都选。有多少种方法？

解法：递推

目标：。

边界条件：，。

递推式：，。

例题：构造序列

给你一个长为 的整数序列 。序列 初始为空，我们要通过下列两种操作把 变成 。

• 批量添加：选定任意非负整数 ，在 末尾添加 个 ，花费 个金币。
• 连续添加：选定任意非负整数 ，在 末尾添加 个从 开始的连续整数，（即 ），花费 个金币。

求把 变成 最少要花多少个金币。

限制

• 。

目标：

边界条件：

怎么找递推式？

递推式

考虑把 变成 的最后一步。
有「批量添加」和「连续添加」两个选择，但是添加多少项却有 个选择。
注意到

• 操作的费用和添加的项数无关
• （）

所以添加的项数越大越好。

阿弥陀签

又称鬼脚图、爬梯游戏，是一种游戏，也是一种简易决策方法，常被拿作抽签或决定分配组合。

先画几条平行的竖线，再画一些横线，每条横线连接相邻两条竖线。两条横线不能相交。

玩法：

1. 把画的横线盖住，选一条竖线。
2. 揭开盖子，从所选竖线的上端往下走，遇到横线就走过去，直到走到某条竖线的下端。

例题：阿弥陀签的数量

有 条长度是 厘米的竖线，要画一些横线做成一个阿弥陀签。每条横线的两端点到竖线上端的距离必须是 ，，……，或 厘米。有多少种画法满足：

• 从第一条竖线的上端出发最后会走到第 条竖线的下端。

输出答案模 。

位置，一步

用一对整数 表示位置：在第 条竖线上，距离竖线的上端 厘米。
，。

初始位置 ，目标位置 。

设当前位置是 ，称下述动作为一步

• 向下移动 1 厘米，到 。若 处有横线，就沿着横线走过去。

递推

各行相互独立。从上到下考虑每一行。

边界条件：。

转移：

DP 的两种实现方式

• 后向DP（填表法，pull DP）
• 前向DP（刷表法，push DP）

在各种结构上使用动态规划

• 序列
• 网格
• 树
• ……

序列上的动态规划

序列有两种子结构，前缀（用一个参数描述）和区间（用两个参数描述）。

• 用前缀定义子问题
• 用区间定义子问题

背包类型动态规划

01背包问题

有 个物品，从 到 编号。物品 的重量是 克，价值是 元。
有一个容量（即承重量）是 克的背包。
今要从 个物品中选一些放进背包，所选物品的重量之和不能超过背包的容量。
求所选物品的总价值可能达到的最大值。

• 都是整数。

贪心

• 优先拿价值高的物品

3 3
3 3
1 2
1 2

• 优先拿单位重量的价值高的物品

3 8
7 15
4 8
4 8

动态规划解法

把 个物品按编号从小到大的顺序排成一行。从物品 开始，决定每个物品选不选。

问题的答案就是 。

递推式

若 则不能选物品 ，有

若 则能选物品 。考虑选物品 和不选物品 这两种情况，有

边界条件

，

long long f[101][100001];
int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        int w, v;
        cin >> w >> v;
        for (int j = 0; j < w; j++)
            f[i][j] = f[i - 1][j];
        for (int j = w; j <= M; j++)
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - w] + v);
    }
    cout << f[N][M];
}

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

节省空间的写法

计算 的第 行（）只需要 的第 行（）。

long long f[2][100001];
int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    int x = 0, y = 1;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        int w, v;
        cin >> w >> v;
        for (int j = 0; j < w; j++)
            f[y][j] = f[x][j];
        for (int j = w; j <= M; j++)
            f[y][j] = max(f[x][j], f[x][j - w] + v);
        swap(x, y);
    }
    cout << f[x][M];
}

更节省空间的写法

计算 需要 和 ，这两项都在 的左侧。

如果按 从大到小的顺序计算计算各个 ，换言之，从右往左计算 的第 行，就可以用 覆盖 ，因为算出 以后再也用不到 了。

long long f[100005];
int main() {
  int N, M;
  cin >> N >> M;
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    int w, v;
    cin >> w >> v; //来一个物品
    for (int j = M; j >= w; j--) //更新f数组
      f[j] = max(f[j], f[j - w] + v);
  }
  cout << f[M];
}

例题：背包 2

有 个物品。编号 。第 个物品的重量是 ，价值是 。

太郎要从 个物品中选一些放进背包带回家。背包的容量是 ，这意味着所选物品的重量之和不能超过 。

求所选物品的价值之和的最大值。

• 都是整数。

这里，，，子问题有 个，太多了。

注意到 ，，这意味着全部物品的价值之和不超过 。

这里，，。

把这个问题的答案记作 ，若无法做到，令 。

边界条件：，，。

递推式：对 ，有

例题：多边形 [CSP-J 2025]

有 根木棍，第 根木棍的长度是 ，要从中选择一些木棍拼成一个多边形，有多少种选法？

两种方案不同当且仅当选择的木棍的下标集合不同，即存在 （），使得其中一种方案选择了第 根木棍，但另一种方案未选择。

根木棍，长度为 ，能拼成一个多边形当且仅当 且所有木棍的长度之和大于所有木棍的长度的最大值的两倍，即 。

限制

解法

所有木棍的长度之和大于所有木棍的长度的最大值的两倍，即

• 除了最长木棍之外的木棍的总长度大于最长木棍的长度。

把木棍按长度从小到大排序，以下假设有 。

设所选的编号最大的那一根木棍，也就是最长的那一根，的编号是 ，问题变成

• 从前 根木棍中选一些，所选木棍的长度之和不小于 ，有多少种选法。

边界条件

递推式

最终答案
。

例题：贪吃

高桥为 Snuke 准备了 道菜，从 到 编号。第 道菜的甜度是 ，咸度是 。

高桥可以把这些菜任意排列。Snuke 会按高桥排好的顺序吃这些菜，吃完道菜之后，如果 Snuke 吃过的菜的甜度之和大于 或者咸度之和大于 ，Snuke 就不能再吃了。

高桥想让 Snuke 吃的菜的数量尽可能多。求 Snuke 最多能吃掉多少道菜。

分析

Snuke 至少吃一道菜。
在吃最后一道菜之前，他吃过的菜的甜度之和不超过 ，咸度之和不超过 。

假设在吃的菜的甜度之和不超过 ，咸度之和不超过 的前提下 Snuke 最多能吃 道菜，那么实际上他最多能吃 个道菜。

我们可以用背包类型的动态规划来求 。

就是满足 的最大的整数 。

能量石

Duda 收集了 颗能量石作为午饭。他的嘴不大，一次只能吃一颗能量石。Duda 吃完第 颗石头需要 秒。

能量石的能量会衰减。第 颗石头最初含有 单位能量，每秒钟损失 单位能量。当石头的能量衰减到零时就不再衰减。当 Duda 开始吃一块石头时，就立即获得这块石头的全部能量，不论他吃完这块石头需要多长时间。

Duda 通过吃能量石最多能获得多少能量？

有 组测试数据。

加一个限制：不吃能量衰减到零的石头。也就是说，吃每个石头时它的能量都 。

考虑一个解里相邻两块石头 ，先吃石头 后吃石头 。如果改为先吃 后吃 ，那么石头 的能量少损失 单位，而石头 的能量多损失至多 单位。于是我们得到

注意到 也就是 。进一步，我们得到

解法：把全部石头按 值从大到小排列，然后用动态规划求出一个最优子序列。

例题：Goodstuff Deck Builder (Hard)

你在玩一个卡牌游戏。一开始，你有 张卡牌，编号 到 ，你可以用这些卡牌来攻击敌人。你还有 点能量用来打出卡牌。

卡牌 的初始费用是 。打出卡牌 消耗的能量等于它的费用，会对敌人造成 点伤害。每打出一张牌后，剩下的牌的费用乘以 。

一张牌只能用一次。不能让能量变成负数。

在以上规则下，你可以从手牌中任意选择若干张，按任意顺序使用。
计算你能造成的最大总伤害。

• ，，

按初始费用从高到低的顺序出牌。

把卡牌按初始费用从大到小排序。

状态太多。

优化

“每打出一张牌后，剩下的牌的费用乘以 ”，相当于“每打出一张牌后，剩下的牌的费用不变，玩家的能量减半”。

例题：分成三队

有 个人分成了三队。人编号 ，队编号 。现在，人 属于队 。

每人有一个强度值，人 的强度是 。一个队的强度定义为其成员的强度之和。判断能否通过改变某些人所属的队使得三个队的强度相同。若可能，输出最少要几个人换队。否则输出 。

分析

必要条件 1： 整除 。

令 。注意到 。

必要条件 2：。

目标：。

边界条件：，， 或 。

递推式：

完全背包问题

有一个容量（即承重量）是 克的背包。有 种物品，从 到 编号。一个第 种物品 的重量是 克，价值是 元。每种物品的数量足够多。

今要选一些物品放进背包，所选物品的重量之和不能超过背包的容量。
求所选物品的总价值可能达到的最大值。

• 都是整数。

“足够多”的含义

一种物品的数量“足够多”是相对于背包的容量来说的，即背包能装多少就有多少。

第 种物品的数量不少于 就算足够多。

起初的问题的答案就是 。

递推式

若 ，第 种物品一件拿不成，有

若 ，考虑选不选第 种物品。

• 不选第 种物品，化为子问题 。
• 选第 种物品。换言之，第 种物品至少选一件，化为子问题

此时有

边界条件

，。

节省空间的写法

算出 以后就再也用不到 了，所以可以用 覆盖 。

long long f[100005];
int main() {
  int N, M;
  cin >> N >> M;
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    int w, v;
    cin >> w >> v; //来一种物品
    for (int j = w; j <= M; j++) //更新f数组
      f[j] = max(f[j], f[j - w] + v);
  }
  cout << f[M];
}

例题：纪念品

已知未来 天 种纪念品每天的价格，第 天第 种纪念品的价格是 。
每天，小明可以进行以下两种交易任意多次：

• 以当日价格买一个纪念品；
• 以当日价格卖出持有的一个纪念品。

每天卖出纪念品换回的金币可以立即用于购买纪念品。

小明会在第 天卖出所有纪念品，他现在有 枚金币， 天之后他最多有几枚金币？

• 任意时刻，小明手上的金币数不超过。

思路

「第一天买一个纪念品，第三天卖」相当于
「第一天买，第二天卖，第二天买，第三天卖」。

所有可能的操作都可变换为

• 第一天：买一些纪念品。
• 第二天：把第一天买的纪念品全卖出，再买一些纪念品。
• 第三天：把第二天买的纪念品全卖出，再买一些纪念品。
• ……
• 第 天：把第 天买的纪念品全卖出。

第一天买纪念品的目标应是让所买的纪念品在第二天卖出后收益最大。

• 解 个完全背包问题。

多重背包问题

有一个容量（即承重量）是 克的背包。有 种物品，从 到 编号，第 种物品有 个。一个第 种物品 的重量是 克，价值是 元。

今要选一些物品放进背包，所选物品的重量之和不能超过背包的容量。
求所选物品的总价值可能达到的最大值。

• 都是整数。

思路一：转化成01背包问题

有 个物品的 01背包问题。

时间复杂度 ，太慢。

思路二：转化成01背包，减少物品数量

把每种物品分为若干组，选物品时只能一组一组选，而不是一个一个选。

例如，某种物品共有10个，可以把他们分成四组，每一组包含的物品数量分别是 。这样划分满足一个良好的性质： 中的每个数目都可以用若干组凑出来。

照此思路，对于每个 ，我们希望能够

• 把 个第 种物品分成较少的几组，使得 里的每个数量都能被其中的一些组凑出来。

二进制划分

二进制划分是一种整数拆分方法，例子如下

多重背包 01背包

令 。

物品数不超过 。

时间：

代码

int N, M;
long long f[100005];
//来一个重量是w，价值是v的物品，更新f数组
void item(int w, int v) {
    for (int j = M; j >= w; j--)
        f[j] = max(f[j], f[j - w] + v);
}

void items(int a, int w, int v) {
    for (int i = 1; i < a; i *= 2) {
        item(i * w, i * v);
        a -= i;
    }
    item(a * w, a * v);
}

int main() {
  cin >> N >> M;
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    int a, w, v;
    cin >> a >> w >> v;
    items(a, w, v);
  }
  cout << f[M];
}

思路三

令 为从前 种物品里选一些物品放进背包，所选物品的总重量不超过 ，所选物品的总价值可能达到的最大值。

起初的问题的答案就是 。

的递推式

枚举第 种物品拿了几个。

注意到 依赖的那些项 的第二个下标两两的差都是 的倍数，换言之，这些下标模 同余。

分批计算 数组的第 行的项

把 按除以 的余数分类。

• 第 类：
• 第 类：
• ……

对于一个确定的余数 ，把 记为 。这样，递推式写成

下标变换

令 ，把上式改写成