树状数组

binary indexed tree（aka Fenwick tree）

一种简单而优美的数据结构

目录

• 从 lowbit 说起
• 用树状数组解决动态前缀和问题
• 树状数组和树
• 树状数组的应用
• 树状数组的一般化

lowbit

• 正整数 的二进制写法里最右边（也说最后）那个 称为 的 lowbit。

• 函数 ： 的二进制写法里最后那个 所在的数位的权值。例如：

  • 写成二进制是 ，最后那个 在第 位（从右往左数，从 开始数），所在数位的权值是 ，所以 。
  • 写成二进制是 ，所以 ；
  • 写成二进制是 ，所以 。

• 是能整除 的 的最高次方。

计算 lowbit(x)

• 方法一：拿 试除。

• 方法二：lowbit(x) 等于 x & -x

  int lowbit(int x) {
      return x & -x;
  }
  

x 和 -x 的编码

对正整数 ， 的编码是把 的编码（即 的二进制写法）的每一位都取反再加一。

例：

• int 类型的值 的编码是 ，
• 取反以后变成 ，
• 再加一又变成 ，这就是 的编码。

lowbit(x) 等于 x & -x 的原理

对比 和 的编码

在 的 lowbit 以下，包括 lowbit， 和 的编码相同，在 lowbit 以上， 和 的编码相反。

动态前缀和问题（Point Add Prefix Sum）

给你一个长为 的整数序列 。处理 个操作，操作有两种。

• 给你一个下标 ，求 。
• 给你一个整数 和下标 ，给 加上 。

考虑一个跟序列 一样长的序列 。

对于每个 ，

也就是说 是从 开始往左数 项之和。

我们把这个序列 称为序列 的树状数组。

用树状数组 求序列 的前缀和

只要在 里从 开始往左找需要的项，加起来。

long long sum(int i) {
    long long ans = 0;
    while (i > 0) {
        ans += b[i];
        i -= lowbit(i); //或者写 i &= i - 1;
    }
    return ans;
}

• 就是把 的 lowbit 去掉（即变成 ）所得的数。
• 在函数 sum 里，ans += b[i] 运行的次数就是 的二进制写法里 的个数。
• sum(n) 的时间复杂度是 。

给 加上

• 在 里，凡是含有 的项都给它加上 。

在 里（从左往右看）第一个含有 的项就是 ，

在 之后，还有哪些项含有 ？

lowbit 函数的一些性质

对于正整数 有

• ，
• 如果 ，那么 ，
• 。

证明都不困难。

在 之后，还有哪些项含有 ？

• 在 之后，从 到 都跟 不相交，而 包含 。

我们说 和 相交或者不相交，指的是 和 分别对应的序列 的那一段相交或者不相交。

由此可以推得

• 在 之后的每一项要么和 不相交，要么包含 。
• 在 之后下一个包含 的项是 。
• 在序列 里，含有 的那些项是
  • ，
  • ，
  • ……

给 加上

int n; // n是序列A的长度
void add(int i, int x) {
    while(i <= n) {
        b[i] += x;
        i += lowbit(i); //或者写 i = (i | i - 1) + 1;
    }
}

• 从 变成 ，lowbit 至少左移一位，所以函数 add 的时间是 。

• 总之，树状数组可以在 的时间内处理动态前缀和问题里的两个操作。

用树状数组解动态区间和（Point Add Range Sum）

给你整数序列 。处理 个操作，操作有两种。

• 给你两个下标 ，求 。
• 给你一个整数 和下标 ，给 加上 。

区间和可以表为两个前缀和的差，有

构建树状数组

如何从序列 算出它的树状数组 ？

法一：根据定义，算出 的前缀和序列，记作 ，那么 就等于 。

法二：假想一开始 的每一项都是 ，而把 的初始值通过加操作加给 。

树状数组和树

Q：为什么序列 被叫做树状数组，它和树有什么关系？

A：因为序列 隐含着树的结构。

树状数组其实是树

是包含 的“最小元素”，不妨把 看作 的父节点。

• 一个矩形条表示一个 对应的 的那一段，箭头从一个 指向它的父节点。
• 如果 那么 在从下往上数第 层（从 开始数）。

• 如果 那么 有 个孩子，它们的下标是 ，，，。
• 的所有孩子合起来再加上 恰好凑成 。

时间构建树状数组

依据上面两条性质，我们再给出两个构建树状数组的方法。

// 方法一
void build_fenwick(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        b[i] += a[i];
        if (i + lowbit(i) <= n)
            b[i + lowbit(i)] += b[i];
    }
}
// 方法二
void build_fenwick_2(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = lowbit(i) / 2; j > 0; j /= 2)
            b[i] += b[i - j];
        b[i] += a[i];
    }
}

树状数组和线段树

• 有人说，树状数组是线段树去掉所有右孩子。
• 树状数组能做的，线段树都能做。
• 但是树状数组胜在简单。

树状数组的应用

区间加（Range Add Point Get）

给你整数序列 。处理 个操作，操作有两种。

• 给你两个下标 和一个整数 ，给每个 加上 。
• 给你一个下标 ，求 。

考虑序列 的差分序列 ，其中 ，（）。不难看出，对于每个 有

也就是说，序列 是它的差分序列 的前缀和序列。给每个 加上 ，在差分序列上的效果是给 加上 ，给 减去 。

因此我们考虑维护差分序列 的树状数组。

区间加-区间和（Range Add Range Sum）

给你一个长为 的整数序列 。处理 个操作，操作有两种。

• 给你两个下标 和一个整数 ，给每个 加上 。
• 给你两个下标 ，求 。

令 为序列 的前缀和序列，即对每个 ，

给每个 加上 ，在前缀和序列 上的效果是

• 不变；
• 对每个 ，给 加上 ；
• 对每个 ，给 加上 。

把 写成 。给每个 加上 ，在序列 和 上的效果是

• 对每个 ，， 不变；
• 对每个 ，给 加上 ，给 加上 ；
• 对每个 ， 不变，给 加上 。

解法：分别维护 和 的差分序列的树状数组。

逆序数

对于一个长为 的序列 ，若整数对 满足 且 则称 是 的一个逆序。 的全部逆序的数量称为 的逆序数。

给你一个长为 的整数序列 。求 的逆序数。

坐标压缩

• 是不是逆序， 和 究竟是多少不重要，重要的是二者谁大谁小。
• 设 中有 个不同的值，我们把 保序映射到 。例如把 变成 。这个处理称为坐标压缩。

经过坐标压缩，我们有 。

更多人把这个处理称为「离散化」，这不恰当。

用树状数组计算逆序数

• 对于每个 ，我们计算有多少个 使得 是 的逆序，或者说满足 。

• 我们可以用树状数组对每个 算出有几个 满足 ，
  如果有 个这样的 ，那么就有 个 使得 是逆序。

一般树状数组

回想我们是如何定义一个整数序列 的树状数组 ，然后利用 求 的前缀和的，要点是

• 每个 是 的一段之和

的前缀和 可以表为 的若干项之和，是因为整数加法满足结合律。

于是我们想到，

• 序列 的元素不必限定为整数，前缀和里的加法运算也不必是整数相加。

我们尝试把树状数组推广到一般序列上。

令 是一个带有二元运算 的集合， 是 上的一个序列。

• 若 运算满足结合律，就可以定义序列 的树状数组 ，

  利用 求的 的前缀和。

• 若 运算可逆，可以用 求 的区间和。

• 若 运算满足交换律，对于把 修改为 （）的操作，可以用前面 add 函数的方法去维护 。

习题

累积累积累积和

给你 ， 和 。处理 个询问，询问有两种：

• ：把 改成 。
• ：令 ，，。输出 模 。

限制

Rectangle Sum

二维平面上有 个带权值的点。第 个点的坐标是 ，权值是 。处理 个询问。

• ：求满足 和 的点的权值之和。

限制

序列移位操作

有 个格子排成一行。每一个格子里有一个整数。一开始，第 个格子里的数是 。处理 个询问

• 给你一个整数 （），输出第 个格子的整数。把第 个格子里的整数拿出来，把第 到第 个格子里的数移到前一个格子里。把原来在第 个格子里的数放到第 个格子里。

限制

列队

军训时， 名学生站成一个 行 列的方阵。行列都从 开始编号。
最初，第 行第 列 的学生的编号是 。

在一天中发生了 次离队事件。每次有一个学生离队，方阵中出现一个空位；为了队伍的整齐，教官会依次下达两条指令：

1. 向左看齐。这时第一列保持不动，所有学生向左填补空缺。
2. 向前看齐。这时第一行保持不动，所有学生向前填补空缺。

教官规定不能有两个或更多学生同时离队。即在前一个离队的学生归队之后，下一个学生才能离队。因此在每一个离队的学生要归队时，队伍中有且仅有第 行第 列一个空位，这个学生会自然地填补到这个位置。

计算每一次离队事件中，离队的同学的编号是多少。

注意：学生的编号不会随着离队事件的发生而改变。