线段树

segment tree (segtree)

目录

• 区间查询和区间操作
• 序列的线段树
• 简单线段树
• lazy 线段树

序列

• 一些东西排成一行就成为一个序列sequence。序列里的每个东西称为一个元素，序列的元素个数称为序列的长度。一个长为 的序列 通常写作 或者 。
• 序列的一段称为一个区间range。序列 的一段 通常记作 或者 。

区间查询和区间操作

OI 里有许多这类问题

• 静态 RMQ
• 单点加区间求和
• range chmin
• range sum range chmin
• ……

线段树是解决这类问题的一大利器。

静态 RMQ

给你一个序列 。回答 个询问。

• 给你 ，求 的最小值。

单点加区间求和

给你一个序列 。处理 个询问。询问有两种类型

• add ：
• sum ：求

range chmin

给你一个序列 。进行 个操作。

• ：对每个 ，把 改成 。
  输出最终的序列 。

chmin 里，ch 表示 change。

range sum range chmin

给你一个序列 。处理 个询问。询问有两种类型

• ：对每个 ，把 改成 。
• ：求 。

二叉树binary tree

• 有根树
• 每个节点的孩子不超过两个
• 孩子有左右之分

满二叉树full binary tree

• 每个非叶子节点都有两个孩子。

• 性质：有 个叶子的满二叉树一共有 个节点。

线段树

线段树是一种支持

• 查询序列的区间信息
• 处理对序列的区间操作

的数据结构。

序列的线段树

一个长为 的序列 的线段树：

• 线段树的每个节点对应序列的一段；每个节点维护它所对应的那一段的某些信息。

  • 根对应整个序列；
  • 节点 的左右孩子分别同与 对应的那一段的左一半和右一半对应；不能均分时，让左一半多一项；
  • 每个叶子对应序列的一项。

• 节点 上的信息由合并 的左右孩子上的信息得来。

线段树的结构

• 线段树是高度平衡的满二叉树：每个节点的左右孩子的高度相差不超过 。

• 除了最后一层外，每一层都是满的。

• 一个序列的线段树的结构完全由序列长度决定。长度为 的序列的线段树

  • 有 个叶子， 个节点。
  • 高度是 ，有 层。

线段树的代码实现

• 给线段树的节点编号。
• 用数组存储线段树节点的信息。

编号方案

• level-order
• preorder
• inorder

level-order 编号

• 根的编号是 ；若节点 的编号是 ，则 的左右孩子的编号分别是 和 。
• 若一个非根节点的编号是 ，则它的父节点的编号是 。

线段树节点的最大编号

有 个叶子的线段树，采用 level-order 编号，节点的最大编号小于 。

• 若最后一层的最后一个节点的编号 ，则它的父节点的编号 ；
• 线段树去掉最后一层就变成完美二叉树，若一个完美二叉树有 个叶子，则叶子的最大编号是 。
• ，即线段树倒数第二层的节点数 ，于是线段树的叶子数大于 。矛盾！

线段树节点的最大编号

令 为具有 个叶子的线段树的节点的最大编号。对于任意 ，存在 满足 。

考虑具有 个叶子的线段树，这里 ；其节点的最大编号是 ，写成二进制是 。

显然，当 充分大时，

趋近于 。

preorder 编号

设 号节点不是叶子，它对应的区间是 ；令 ，那么

• 的左孩子的编号为 。
• 的右孩子的编号为 。

inorder 编号

• 叶子的编号是偶数，非叶子节点的编号是奇数。
• 第 个叶子的编号是 。
• 设 号节点对应区间是 ，那么
  若 则 ，否则 。

在线段树上查询区间信息

• 自顶向下，把要查询的区间拆解为线段树的节点。把这些节点上的信息合并起来，得到要查询的区间的信息。
• 在线段树的每一层里最多访问 个点。
• 一共访问 个点。

例一：静态 RMQ

给你一个长为 的整数序列 。依次处理 个询问：

• ：输出 。

限制

例子

构建线段树

• 自底向上

查询区间最小值

• 询问 。

构建线段树

const int maxn = 5e5 + 5;
int a[maxn];
int tree[4 * maxn];
// 节点x对应的区间：[l, r]
void build(int x, int l, int r) {
    if (l == r) {
        tree[x] = a[l];
        return;
    }
    int m = (l + r) / 2;
    build(x * 2, l, m);
    build(x * 2 + 1, m + 1, r);
    tree[x] = min(tree[x * 2], tree[x * 2 + 1]);
}
// build(1, 1, n)

查询区间最小值

// 节点x对应的区间：[l, r]，查询区间：[ql, qr]
int query(int x, int l, int r, int ql, int qr) {
    if (r < ql || qr < l) return 1e9 + 5;
    if (ql <= l && r <= qr) return tree[x];
    int m = (l + r) / 2;
    return min(query(x * 2, l, m, ql, qr),
               query(x * 2 + 1, m + 1, r, ql, qr));
}
// query(1, 1, 10, 3, 9)

修改序列的一项

• 把 修改为 ：修改跟 对应的叶子，自底向上，重新计算它的每个祖先节点上的信息。

// 把 a[p] 改成 v
void set(int x, int l, int r, int p, int v) {
    if (!(l <= p && p <= r)) return;
    if (l == r) {
        tree[x] = v;
        return;
    }
    int m = (l + r) / 2;
    set(x * 2, l, m, p, v);
    set(x * 2 + 1, m + 1, r, p, v);
    tree[x] = min(tree[x * 2], tree[x * 2 + 1]);
}
// set(1, 1, 10, 2, 5)

例二：单点加区间求和

给你一个长为 的整数序列 。依次处理 个询问：

• 0 ：
• 1 ：输出

限制

用线段树维护区间操作

例三：区间加单点求值

给定长为 的整数序列 。处理 个询问：

• ：对于每个 ，。
• ：输出 。

限制

例子

区间加

const int maxn = 5e5 + 5;
long long tree[4 * maxn];
void add(int x, int l, int r, int ql, int qr, int v) {
    if (qr < l || r < ql) return;
    if (ql <= l && r <= qr) {
        tree[x] += v;
        return;
    }
    int m = (l + r) / 2;
    add(x * 2, l, m, ql, qr, v);
    add(x * 2, m + 1, r, ql, qr, v);
}

单点求值

long long get(int x, int l, int r, int p) {
    if (!(l <= p && p <= r)) return 0;
    if (l == r) return tree[x];
    int m = (l + r) / 2;
    return tree[x] + get(x * 2, l, m, p)
            + get(x * 2 + 1, m + 1, r, p);
}

例四：Range Affine Point Get

给定长为 的整数序列 。处理 个询问：

• affine ：对于每个 ，。
• get ：输出

限制

操作：可交换 vs 不可交换

• 例一的 add 操作是可交换的而例二的 affine 操作是不可交换的。
• 跟
  相同。
• 跟
  不同。

操作的合成

• 加 然后加 相当于加 。
• 乘 加 然后乘 加 相当于乘 加
• 操作 和 的合成是这样一个操作：先进行操作 然后进行操作 ；记作 。
  例如，把乘 加 这个操作表示为 ，那么 就是 。

恒等操作

• 一种操作中往往有一个不变操作，对任何一个东西施加这个操作都保持这个东西不变，称之为恒等操作。
• 例如，对于 add 操作来说，加 就是恒等操作；对于 affine 操作来说，乘 加 就是恒等操作。
• 恒等操作通常记为 。
• 对于任一操作 ，有 。

用线段树维护 range affine 操作

例子

对序列 的 range affine 操作：

affine 1 7 3 9
affine 2 8 4 7

用线段树维护 range affine 操作

例子

对序列 的 range affine 操作：

affine 1 7 3 9
affine 2 8 4 7

用线段树维护区间操作和查询区间信息

带懒标记的线段树（lazy segtree）

例五：Range Affine Range Sum

给定长为 的整数序列 。处理 个询问：

• 0 ：对于每个 ，。
• 1 ：输出

限制

例六：Point Set Range Composite

给你 个一次函数 。。依次处理 个询问。

• 0 ：把 改为 。
• 1 ：输出 。

限制

例七：Range Set Range Composite

给你 个一次函数 。。依次处理 个询问。

• 0 ：对每个 ，把 改为 。
• 1 ：输出 。

限制